傅里叶变换
连续时间函数$$的傅立叶变换x(t)定义为，
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$
逆傅里叶变换
连续时间函数的逆傅里叶变换定义为，
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega}$$
傅里叶变换的性质
连续时间傅里叶变换(CTFT)具有许多重要特性。这些属性对于驱动傅立叶变换对以及推导一般频域关系非常有用。这些属性还有助于找出各种时域操作对频域的影响。表中给出了连续时间傅里叶变换的一些重要性质-
CTFT的性质 | 时域x(t) | 频域X(ω) | | LinearityProperty | $ax_{1}(t)+bx_{2}(t)$ | $aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)$ |
| 时移属性 | $x(t±t_{0})$ | $e^{±j\omegat_{0}}X(\omega)$ |
| 频移特性 | $e^{±j\omega_{0}t}x(t)$ | $X(\omega∓\omega_{0})$ |
| 时间反转属性 | x(-t) | $x(-\omega)$ |
| 时间缩放属性 | x(at) | $\frac{1}{|a|}X(\frac{\omega}{a})$ |
| 时间微分属性 | $\frac{d}{dt}x(t)$ | $j\omegaX(\omega)$ |
| 频率导数性质 | $$t.x(t) | $j\frac{d}{d\omega}X(\omega)$ |
| 时间积分属性 | $\int_{−\infty}^{\infty}x(t)dτ$ | $\frac{X(\omega)}{j\omega}$ |
| 卷积性质 | $x_{1}(t)*x_{2}(t)$ | $X_{1}(\omega)X_{2}(\omega)$ |
| 乘法性质 | $x_{1}(t)x_{2}(t)$ | $\frac{1}{2\pi}[X_{1}(\omega)*X_{2}(\omega)]$ |
| 二元性或对称性 | X(t) | $2\pix(-\omega)$ |
调制特性| $x(t)\:cos\:\omega_{0}t$ | $\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]$ |
| $x(t)\:sin\:\omega_{0}t$ | $\frac{1}{2j}[X(\omega-\omega_{0})-X(\omega+\omega_{0})]$ |
| ConjugationProperty | x*(t) | $x*(-\omega)$ |
| 自相关性质 | R(τ) | $|X(-\omega)|^{2}$ |
| 帕塞瓦尔定理 | $\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)x_{2}^*(t)dt$ | $\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X_{1}(\omega)x_{2}^*(\omega)d\omega$ |
| 帕塞瓦尔的身份 | $\int_{−\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}dt$ | $\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}|X(\omega)|^{2}d\omega$ |
曲线下面积属性| $\int_{−\infty}^{\infty}x(t)dt$ | $\frac{1}{2\pi}X(0)$ |
| x(0) | $\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)d\omega$ |
