三角函数和指数傅里叶级数之间的关系
三角傅立叶级数
周期函数可以用正交函数的线性组合在一定的时间间隔内表示。如果这些正交函数是三角函数，则称为三角傅立叶级数。
在数学上，周期信号的标准三角傅立叶级数展开式为，
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_{0}nt\:\:...(1)}$$
指数傅里叶级数
周期函数可以用正交函数的线性组合表示在一定时间间隔内，如果这些正交函数是指数函数，则称为指数傅立叶级数。
在数学上，周期函数的标准指数傅立叶级数展开式由下式给出，
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}\:\:...(2)}$$
从指数傅立叶级数获得三角傅立叶级数
周期函数$$的指数傅立叶级数x(t)由下式给出，
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=−\infty}^{-1}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}+\sum_{n=1}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}(C_{-n}e^{-jn\omega_{0}t}+C_{n}e^{jn\omega_{0}t})}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[C_{-n}(cos\:n\omega_{0}tj\:sin\:n\omega_{0}t)+C_{n}(cos\:n\omega_{0}t+j\:sin\:n\omega_{0}t)]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=C_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}[(C_{n}+C_{-n})cos\:n\omega_{0}t+j(C_{n}-C_{-n})sin\:n\omega_{0}t]\:\:...(3)}$$
现在，将方程(3)与方程中给出的标准三角傅立叶级数进行比较。(1)，我们得到三角傅立叶级数的系数如下-
$$\mathrm{a_{0}=C_{0}}$$
$$\mathrm{a_{n}=C_{n}+C_{-n}}$$
$$\mathrm{b_{n}=j(C_{n}+C_{-n})}$$
通过评估这些三角系数，我们可以写出周期函数的三角傅立叶级数展开式。
从三角傅立叶级数获得指数傅立叶级数
指数傅里叶级数可以从三角傅里叶级数获得如下-
周期函数的三角傅立叶级数展开式由下式给出，
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_{0}nt}$$
其中，三角傅立叶系数由下式给出，
$$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)dt\:\:...(4)}$$
$$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\:cos\:n\omega_{0}t\:\:dt\:\:\:…(5)}$$
$$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)sin\:n\omega_{0}t\:\:dt\:\:\:...(6)}$$
从指数傅立叶级数，指数傅立叶系数$C_{n}$由下式给出，
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt}$$
通过使用欧拉公式，我们得到，
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)(cos\:n\omega_{0}t-j\:sin\:n\omega_{0}t)dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:C_{n}=\frac{1}{T}\left(\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\:cos\:n\omega_{0}t\:dt-j\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\:sin\:n\omega_{0}tdt\right)...(7)}$$
比较等式(7)与(5)和(6)，我们得到，
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{2}[a_{n}-jb_{n}]\:...(8)}$$
类似地，指数傅立叶系数 $C_{-n}$是，
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)e^{jn\omega_{0}t}dt}$$
通过使用欧拉公式，我们得到，
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)(cos\:n\omega_{0}t+j\:sin\:n\omega_{0}t)\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:C_{-n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)cos\:n\omega_{0}t\:dt+j\frac{2}{T}\int_{0}^{T}x(t)\:sin\:n\omega_{0}tdt\right)\:\:...(9)}$$
比较等式(9)与(5)和(6)，我们得到，
$$\mathrm{C_{-n}=\frac{1}{2}[a_{n}+jb_{n}]\:...(10)}$$
并且，指数傅立叶系数 $C_{0}$是，
$$\mathrm{C_{0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x(t)\:dt=a_{0}...(11)}$$
使用方程(8)、(10)和(11)，我们可以从三角傅里叶系数中得到指数傅里叶系数的值，然后从三角傅里叶级数中得到指数傅里叶级数。